Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=

5

3

，an+1=

2

3

+

1

3

an（n∈N₊）
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）記S_n=a₁+a₂+a₃+┉+a_n，求S_n的值．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

2

3

+

1

3

an，可得a_n+1-1=

1

3

（a_n+1），即可證明數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式，即可求S_n的值．

解答：（1）證明：∵an+1=

2

3

+

1

3

an，
∴a_n+1-1=

1

3

（a_n+1），
∵a₁-1=

2

3

，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)

2

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列┉┉┉┉┉┉（6分）
（2）解：∵a_n=

2

3

×(

1

3

)n-1+1
∴S_n=a₁+a₂+a₃+┉+a_n
=

2

3

×[1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1]+n=1+n-(

1

3

)n┉┉┉（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確變形是關(guān)鍵．