Question

已知△ABC的頂點A，B在橢圓x²+3y²=4上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（Ⅱ）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）注意到直線AB和l平行，則斜率相等，得到直線AB的方程．再由以AB為底，計算三角形面積．
（2）由弦長公式算出AB，點到直線的距離算出BC，再根據勾股定理，得到AC的表達式，從而求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為AB∥l，且AB邊通過點（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x．
設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由

x2+3y2=4 y=x

得x=±1．
所以|AB|=

2

|x1-x2|=2

2

．
又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離．
所以h=

2

，S_△ABC=

1

2

|AB|•h=2．

（Ⅱ）設AB所在直線的方程為y=x+m，
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0．
因為A，B在橢圓上，
所以△=-12m²+64＞0．
設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

3m

2

，x₁x₂=

3m2-4

4

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

32-6m2

2

．
又因為BC的長等于點（0，m）到直線l的距離，即|BC|=

|2-m|

2

．
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以當m=-1時，AC邊最長，（這時△=-12+64＞0）
此時AB所在直線的方程為y=x-1．

點評：本題是屬于對直線與圓錐曲線的位置關系的考查．注意到解析幾何的綜合題在高考中的“綜合的程度”往往比較高，且計算量常常較大，因此平時復習時要注意其深難度，同時注意加強計算能力的培養．