Question

形狀如圖所示的三個游戲盤中（圖1是正方形，M、N分別是所在邊中點，圖2是半徑分別為2和4的兩個同心圓，O為圓心，圖3是正六邊形，點P為其中心）各有一個玻璃小球，依次搖動三個游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．
（I）一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（II）用隨機變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數與小球沒有停在陰影部分的事件數之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用相互獨立事件概率計算公式，可求概率；
（II）確定ξ可能的取值為1，3，求出相應的概率，即可得到隨機變量ξ的分布列及數學期望．
解答：解：（I）“一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分”分別記為事件A₁、A₂、A₃，由題意知，A₁、A₂、A₃互相獨立，且P（A₁）=，P（A₂）=，P（A₃）=，…（3分）
∴P（A₁ A₂ A₃）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）=
（II）一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的事件數可能是0，1，2，3，相應的小球沒有停在陰影部分的事件數可能取值為3，2，1，0，所以ξ可能的取值為1，3，則
P（ξ=3）=P（A₁ A₂ A₃）+P（）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）+P（）P（）P（）
=，
P（ξ=1）=1-=．
所以分布列為

ξ	1	3
P

數學期望Eξ=1×+3×=．
點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．