Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1）平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，求證k₁+k₂=0．

Answer 1

（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
則

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

解得a²=8，b²=2
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

1
（2）∵直線l平行與OM，且在一軸上的截距為m，由k_OM=

1

2

∴l的方程為y=

1

2

x+m
由直線方程與橢圓方程聯立消去y得x²+2mx+2m²-4=0
∵直線l與橢圓交與A，B兩個不同點
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
解得-2＜m＜2，且m≠0
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²+2mx+2m²-4=0可得
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
則k₁=

y1-1

x1-2

，k₂=

y2-1

x 2 -2

而k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x 2 -2

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0
∴k₁+k₂=0，
故得證．