Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點分別為F₁（-2，0），F₂（2，0），焦點到漸近線的距離為

2

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標原點，過點M（0，2）的直線l交雙曲線C于E、F兩點，若△EOF的面積為2

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式及a，b，c的關系即可得出；
（2）設直線l的方程為y=kx+2，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．與雙曲線的方程聯立即可得到根與系數的關系，利用弦長公式和三角形的面積公式即可得出．

解答：解：（1）∵焦點F₂（2，0）到漸近線y=

b

a

x的距離為

2

，
∴

2b

a2+b2

=

2

，
∵c=2，∴b=

2

，
∴a²=c²-b²=2，
∴雙曲線C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）設直線l的方程為y=kx+2，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
聯立

y=kx+2 x2-y2=2

，化為（1-k²）x²-4kx-6=0，
由于k²≠1，∴x1+x2=

4k

1-k2

，x1x2=

-6

1-k2

，
S△OEF=

1

2

|OM|•|x1-x2|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

，
∴

( 4k 1-k2 )2- 4×(-6) 1-k2

=2

2

，
化為k⁴-k²-2=0．
解之得k²=2，即k=±

2

，經檢驗符合題意．
故所求直線方程為y=

2

x+2或y=-

2

x+2．

點評：熟練掌握直線與雙曲線的相交問題轉化為雙曲線的方程聯立即可得到根與系數的關系、利用弦長公式和三角形的面積公式等是解題的關鍵．