Question

已知向量

a

=(sinθ，cosθ)，其中θ∈[0，

Π

2

]1）若

b

=(2，1)，

a

平行

b

，求：
（1）sinθ和cosθ的值               
 （2）若

c

=(-1，

3

)，求|

a

+

c

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量

a

=(sinθ，cosθ)，

b

=(2，1)，

a

平行

b

，知sinθ=2cosθ，由此能求出sinθ和cosθ的值．
（2）由

a

=(sinθ，cosθ)，，

c

=(-1，

3

)，知

a

+

c

=(sinθ-1，cosθ+

3

)，由此能夠求出|

a

+

c

|的最大值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(sinθ，cosθ)，

b

=(2，1)，

a

平行

b

，
∴

sinθ

2

=

cosθ

1

，
∴sinθ=2cosθ，
∴sin²θ+cos²θ=5cos²θ=1，
∴cos2θ=

1

5

，
∵θ∈[0，

π

2

]，∴cosθ=

5

5

，
∴sinθ=

1-( 5 5 )2

=

2 5

5

．
（2）∵

a

=(sinθ，cosθ)，，

c

=(-1，

3

)，
∴

a

+

c

=(sinθ-1，cosθ+

3

)，
∴|

a

+

c

|²=(sinθ-1)2+(cosθ+

3

)2
=5+4sin（θ+

2π

3

）．
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ+

2π

3

∈[

2π

3

，

7π

6

]．
∴當θ+

2π

3

=

2π

3

時，|

a

+

c

|²取最大值5+2

3

，
故|

a

+

c

|的最大值為

5+2 3

．

點評：本題考查sinθ和cosθ的值的求法和求|

a

+

c

|的最大值．解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數恒等式的合理運用．