Question

函數f（x）=x²-2ax-1
（1）求f（x）在區間[0，2]上的最小值h（a）；
（2）畫出函數y=h（a）的圖象；
（3）寫出h（a）的最大值．

Answer 1

分析：解：（1）由于函數f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-1-a² 的對稱軸為 x=a，分當a＜0時、當0≤a≤2時、當a＞2時，三種情況，分別利用二次函數的性質求得
函數在f（x）在區間[0，2]上的最小值h（a），綜上可得結論．
（2）畫出函數y=h（a）的圖象如圖所示．
（3）結合函數h（a）的圖象，寫出h（a）的最大值．

解答：解：（1）由于函數f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-1-a² 的對稱軸為 x=a，
當a＜0時，函數在f（x）在區間[0，2]上是增函數，故函數的最小值h（a）=f（0）=-1；
當0≤a≤2時，函數在f（x）在區間[0，2]上的最小值h（a）=f（a）=-a²-1；
當a＞2時，函數在f（x）在區間[0，2]上是減函數，故函數的最小值h（a）=f（2）=3-4a．
綜上可得，h（a）=

-1   ， a＜0 -a2-1  ，0≤a≤2 3-4a ，a＞2

．
（2）畫出函數y=h（a）的圖象如圖所示：
（3）結合函數h（a）的圖象，知h（a）的最大值為-1．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，求函數的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．