Question

19．已知函數f（x）=x²-2ax+a（a為實常數）．設$h（x）=\frac{f（x）}{x}$，證明：當a＜1時，h（x）在[1，+∞）上單調遞增．

Answer 1

分析 求出函數h（x）的表達式和導數，利用函數單調性和導數的關系進行證明即可．

解答 證明：∵f（x）=x²-2ax+a，
∴$h（x）=\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2ax+a}{x}$=x+$\frac{a}{x}$-2a，
函數的導數h′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
當a＜1時，x≥1得h′（x）＞0，即函數h（x）在[1，+∞）上單調遞增．

點評 本題主要考查函數單調性的判斷和證明，利用導數法是解決本題的關鍵．