Question

已知函數f（x）=x²-alnx，a∈R，g（x）=x²+（a+2）x+1，若a＞0，且對任意x₁∈[-1，2]．都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：根據題意得出f（x）=x²-alnx，a∈R，x₂∈（0，+∞），的值域A，g（x）=x²+（a+2）x+1，x₁∈[-1，2]的值域為B，即B⊆A，分類討論當a≤0時，②當a＞0時，利用最小值的關系，求解即可得出范圍．

解答： 解：∵對任意x₁∈[-1，2]．都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），
∴f（x）=x²-alnx，a∈R，x₂∈（0，+∞），的值域A，g（x）=x²+（a+2）x+1，x₁∈[-1，2]的值域為B，
∴B⊆A
①當a≤0時，f（x）=x²-alnx，a∈R，x∈（0，+∞），單調遞增，
∴f（x）的值域為A=R，
∵g（x）=x²+（a+2）x+1，x∈[-1，2]的值域為B是一個閉區間，
∴B⊆A，
∴對任意x₁∈[-1，2]．都存在x₂∈（0，+∞），使得g（x₁）=f（x₂），
②當a＞0時，f（x）=x²-alnx，a∈R，x∈（0，+∞），
f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，
可判斷（0，

a 2

）單調遞減，（

a 2

，+∞）單調遞增，
∴f（x）_min=f（

a 2

）=

a

2

-aln

a 2

，
∴值域A=[

a

2

-aln

a 2

，+∞），
∵g（x）=x²+（a+2）x+1，x∈[-1，2]，
x=-1-

a

2

＜-1，
∴g（x）=x²+（a+2）x+1，x∈[-1，2]，單調遞增，
g（x）_min=g（-1）=-a，
要滿足B⊆A，只需-a≥

a

2

-aln

a 2

，即a≥2e³，
由①②得a的取值范圍為：a≤0或a≥2e³．

點評：本題考查了兩個函數值域的問題，運用導數，判斷單調性，再求解值域，本題的關鍵是確定兩個函數的值域的關系，從而得出不等關系．