Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A在x軸的正半軸上，直線AB的傾斜角為

3π

4

，|

OB

|=2，設∠AOB=θ，θ∈(

π

2

，

3π

4

)．
（1）用θ有示點B的坐標及|

OA

|；
（2）求

OA

•

OB

的范圍．

Answer 1

分析：（1）由三角函數的定義，得點B的坐標；在△AOB中利用正弦定理求出|OA|長．
（2）利用向量的數量積公式等于向量的模乘以它們的夾角余弦乘積及三角函數的誘導公式求出．

解答：（1）解：由三角函數的定義，得點B的坐標為（2cosθ，2sinθ）．
在△AOB中，|OB|=2，∠BAO=

π

4

， ∠B=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ，
由正弦定理，得

|OB|

sin π 4

=

|OA|

sin∠B

，
即

2

2 2

=

|OA|

sin( 3π 4 -θ)

，
所以 |OA|=2

2

sin(

3π

4

-θ)．

（2）解：由（1）得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cosθ=4

2

sin(

3π

4

-θ)•cosθ
=4cos²θ+4sinθcosθ=2cos2θ+2sin2θ+2
=2

2

sin（2θ+

π

4

)+2
∵θ∈(

π

2

，

3π

4

)，
∴2θ+

π

4

∈(

5π

4

，

7π

4

)．
則

OA

•

OB

∈[2-2

2

，0)．

點評：此題是個基礎題．本題考查三角函數的定義；考查三角函數的正弦定理；考查向量的數量積；考查三角函數的誘導公式，以及三角函數在定區間上的最值．考查學生分析解決問題的能力．