Question

已知點H（0，-3），點P在x軸上，點Q在y軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足•=0，=-
（1）當點P在x軸上移動時，求動點M的軌跡曲線C的方程；
（2）過定點A（a，b）的直線與曲線C相交于兩點S R，求證：拋物線S R兩點處的切線的交點B恒在一條直線上．

Answer 1

解：（1）設P（a，0），Q（0，b）則：•=（a，3）（a，-b）=a²-3b=0
∴a²=3b
設M（x，y）∵=-
∴x==-2a，y==3b∴y=x²
（2）設A（a，b），S（x₁，x₁²），R（x₂，x₂²），（x₁≠x₂）
則直線SR的方程為：y-x₁²=（x-x₁），即4y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
∵A點在SR上，
∴4b=（x₁+x₂）a-x₁x₂①
對y=x²求導得：y′=x
∴拋物線上SR處的切線方程為
y-x₁²=x₁（x-x₁）即4y=2x₁x-x₁²②
y-x₂²=x₂（x-x₂）即4y=2x₂x-x₂²③
聯立②③得
代入①得：ax-2y-2b=0故：B點在直線ax-2y-2b=0上
分析：（1）設出P，Q的坐標，利用•=0求得a和b的關系，設出M的坐標，利用=-，可求得x和y的表達式，消去b，進而求得x和y的關系式．
（2）設出A，S，R，則可表示SR的方程把點A代入SR，同時對曲線C的方程求導，判斷出SR處的切線方程，最后聯立方程求得ax-2y-2b=0判斷出B點在直線．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力．