Question

設函數f（x）=3^1-x-1，函數g（x）=ax²+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）在[0，1]上單調遞減，可求函數的值域；
（2）對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立轉化為兩個函數值域的關系M⊆N，列出不等式求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）在[0，1]上單調遞減，
∴f（x）_min=f（1）=0，f（x）_max=f（0）=2，
∴f（x）在[0，1]上的值域[0，2]…..（4分）
（2）f（x）在[0，1]上的值域[0，2]，函數g（x）在[0，1]上的值域D，則[0，2]⊆D．
①a=0，g（x）=5x，值域[0，5]，符合條件； …（6分）
②a＞0，對稱軸x=-

5

2a

＜0，∴函數g（x）在[0，1]上單調遞增，g（x）_max=g（1）=5-a
由5-a≥2，∴a≤3，∴0＜a≤3    …..（8分）
③a＜0，對稱軸x=-

5

2a

＞0
當0＜-

5

2a

＜ 1即a＜-

5

2

時，最小值在x=0或x=1處取，不合題意
當-

5

2a

≥1即-

5

2

≤a＜0時，函數g（x）在[0，1]上單調遞增，不合題意…．（12分）
綜上，a∈[0，3]…（13分）

點評：本小題主要考查函數恒成立問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想