Question

已知數列{a_n}滿足：a1=

1

3

，且對任意的正整數m、n，都有a_m+n=a_m•a_n，若數列{a_n}的前n項和為S_n，則

lim

n→∞

Sn等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  3

• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：根據a1=

1

3

和a_m+n=a_m•a_n得出數列{a_n}的通項公式，判斷數列{a_n}為等比數列，進而表示出數列的前n項和，最后得出答案．

解答：解：數列{a_n}滿足：a1=

1

3

，且對任意正整數m，n都有a_m+n=a_m•a_n
∴a₂=a₁₊₁=a₁•a₁=

1

9

，a_n+1=a_n•a₁=

1

3

an，
∴數列{a_n}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數列．

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=

a1

1-q

=

1

2

，
故選A．

點評：本題主要考查了等比數列的前n項的和．無窮等比數列公比的絕對值小于1的數列的極限的求法．