Question

如圖邊長為2的正方形花園的一角是以A為中心，1為半徑的扇形水池．現需在其余部分設計一個矩形草坪PNCQ，其中P是水池邊上任意一點，點N、Q分別在邊BC和CD上，設∠PAB為θ．
（I）用θ表示矩形草坪PNCQ的面積，并求其最小值；
（II）求點P到邊BC和AB距離之比

PN

PM

的最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用∠PAB為θ，|AP|=1?AM=COSθ，PM=sinθ，?矩形草坪PNCQ面積S=（2-cosθ）（2-sinθ），向下整理得[sin(θ+

π

4

)-

2

]2-2+

7

2

，再利用二次函數在閉區間上的最值求法即可求矩形草坪PNCQ的面積的最小值；
（II）先求得y=

PN

PM

=

2-cosθ

sinθ

，再求其導函數，利用其導函數研究出原函數在給定區間上的單調性，進而求出其最小值．

解答：解：（I）因為∠PAB為θ，|AP|=1．
∴AM=COSθ，PM=sinθ，
PN=2-cosθ，PQ=2-sinθ，
∴矩形草坪PNCQ面積S=（2-cosθ）（2-sinθ）
=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ
=4-2（sinθ+cosθ）+

(sinθ+cosθ)2-1

2

=

7

2

-2

2

sin（θ+

π

4

）+

[ 2 sin(θ+ π 4 )]2

2

=sin²（θ+

π

4

）-2

2

sin（θ+

π

4

）+

7

2

=[sin(θ+

π

4

)-

2

]2-2+

7

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]．sin（θ+

π

4

）∈[

2

2

，1]．
∴當sin（θ+

π

4

）=1，即θ=

π

4

時，面積有最小值此時s=(1-

2

)2-2+

7

2

=

9

2

-2

2

．
故當θ=

π

4

，最小值為

9

2

-2

2

；（6分）
（II）∵y=

PN

PM

=

2-cosθ

sinθ

∴y′=

1-2cosθ

sin2θ

(0≤θ≤

π

2

)，令1-2cosθ=0?θ=

π

3

．

θ	0	(0， π 3 )	π 3	( π 3 ， π 2 )	π 2
y′ y		- ↘	0 極小	+ ↗

所以當θ=

π

3

時，ymin=

3

（12分）

點評：本題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值，是對二次函數，三角函數等知識的綜合考查，屬于中檔題．