Question

設函數f(x)=x,給出下列四個命題:①函數f(|x|)為偶函數;②若|f(a)|=|f(b)|,其中a＞0, b＞0,a≠b,則ab=1;③函數f(-x²+2x)在(1,2)上為單調增函數;④若0＜a＜1,則|f(1+a)|＜|f(1-a)|.則正確命題的序號是______________(把正確命題的序號都寫上).

Answer 1

①②③④  ∵f(x)=x,∴f(|x|)=|x|,為偶函數,①正確.

若|f(a)|=|f(b)|,不妨設0＜a≤1,b≥1,

則|f(a)|=|f(b)|f(a)=-f(b)f(a)+f(b)=0log₂ab=0ab=1.

∴②正確.

∵f(x)在(0,+∞)上單調遞減,而u=-x²+2x在(1,2)內單調遞減且u＞0,∴f(-x²+2x)在(1,2)上單調遞增,③正確.

當0＜a＜1時,1＜1+a＜2,0＜1-a＜1,0＜1-a²＜1,

則|f(1+a)|-|f(1-a)|=|(1+a)|-|(1-a)|=-(1+a)-(1-a)

=-(1-a²)＜0,∴④正確.

綜上得,①②③④均為正確命題.