Question

已知：正數數列a_n中，若關于x的方程有相等的實根
（1）若a₁=1，求a₂，a₃的值；并證明
（2）若a₁=a，b_n=a_n-（3n-12）•2ⁿ，求使b_n+1≥b_n對一切n∈N⁺都成立的a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由得a_n+1=3a_n+2，再由a_n+1=3a_n+2得a_n+1+1=3（a₁+1），由此能夠證明．
（2）當a₁=a時，a_n+1=（a+1）•3^n-1，b_n=（a+1）•3^n-1-1-（3n-12）•2ⁿ，b_n+1-b_n=（a+1）•2•3^n-1-（3n-6）•2ⁿ≥0對一切n∈N⁺都成立，由此能求出使b_n+1≥b_n對一切n∈N⁺都成立的a的取值范圍．
解答：解：（1）由得a_n+1=3a_n+2∴
由a_n+1=3a_n+2得a_n+1+1=3（a₁+1），
所以a_n+1為首項為2公比為3的等比數列
得a_n+1=2•3^n-1（5分），
（8分）
（2）當a₁=a時，a_n+1=（a+1）•3^n-1，b_n=（a+1）•3^n-1-1-（3n-12）•2ⁿ
b_n+1-b_n=（a+1）•2•3^n-1-（3n-6）•2ⁿ≥0對一切n∈N⁺都成立，所以
令，，
所以，所以（16分）
點評：本題考查數列的性質和綜合運用，解題時要注意公式的合理運用．