Question

設實數x，y滿足x²+（y-1）²=1，若對滿足條件的x，y，不等式x+y+c≥0恒成立，則實數c的取值范圍是

[

2

-1，+∞）

．

Answer 1

分析：x+y+c大于等于0，即要-c小于等于x+y恒成立，即-c小于等于x+y的最小值，由x與y滿足的關系式為圓心為（0，1），半徑為1的圓，可設x=cosα，y=1+sinα，代入x+y，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域可得出x+y的最小值，即可得到實數c的取值范圍．

解答：解：∵實數x，y滿足x²+（y-1）²=1，
∴設x=cosα，y=1+sinα，
則x+y=cosα+1+sinα=

2

sin（α+

π

4

）+1，
∵-1≤sin（α+

π

4

）≤1，
∴

2

sin（α+

π

4

）+1的最小值為1-

2

，
根據題意得：-c≤1-

2

，即c≥

2

-1，
則實數c的取值范圍是[

2

-1，+∞）．
故答案為：[

2

-1，+∞）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的參數方程，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及不等式恒成立滿足的條件，其中根據題意得出不等式x+y+c≥0恒成立即-c小于等于x+y的最小值，把問題轉化為求x+y的最小值是解本題的關鍵．