Question

設函數f（x） 是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知當x∈[0，1]時，f（x）=3^x．則
①2是f（x）的周期；　　　　　　　　②函數f（x）的最大值為1，最小值為0；
③函數f（x）在（2，3）上是增函數；　　④直線x=2是函數f（x）圖象的一條對稱軸．
其中所有正確命題的序號是________．

Answer 1

①③④
分析：①利用抽象表達式，將x替換為x+1，即可由周期定義判斷①的正誤；
②先求函數在x∈[0，1]時的值域，再利用對稱性和周期性即可求出函數的值域；
③利用函數的周期性，函數在[0，1]和[2，3]上的單調性相同；
④由于函數為偶函數，故其對稱軸為y軸，又因為函數的周期為2，故可得函數的對稱軸方程
解答：①∵對任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即2是f（x）的周期，①正確
②設x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，f（-x）=3^-x=，
∵函數f（x） 是定義在R上的偶函數，∴f（-x）=f（x）
∴x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=
∴x∈[0，1]時，1≤f（x）≤3，x∈[-1，0]時，1≤f（x）≤3，
∴在一個周期[-1，1]內，1≤f（x）≤3，
∴在定義域R上，1≤f（x）≤3，②錯誤
③∵x∈[0，1]時，f（x）=3^x為增函數，T=2
∴數f（x）在（2，3）上也是增函數，③正確
④∵函數f（x） 是定義在R上的偶函數，即對稱軸為x=0，T=2
∴x=2k （k∈Z）為函數的對稱軸，
∴直線x=2是函數f（x）圖象的一條對稱軸，④正確
故答案為 ①③④
點評：本題綜合考查了函數的周期性定義及其證明，利用函數的對稱性和周期性判斷函數的最值、單調性、對稱軸的方法，轉化化歸的思想方法