Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的導函數是g（x），設x₁，x₂是方程g（x）=0的兩根．若a+b+c=0，g（0）•g（1）＜0，則|x₁-x₂|的取值范圍為

（

2

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意得：g（x）=3ax²+2bx+c，并且c=-a-b，因為g（0）•g（1）=c（3a+2b+c）＜0，所以可得：(

b

a

)2+3

b

a

+2＞0解得：

b

a

＜-2或

b

a

＞-1．根據韋達定理可得：|x₁-x₂|的取值范圍．

解答：解：由題意得：g（x）=3ax²+2bx+c
因為a+b+c=0，所以c=-a-b，
又因為g（0）•g（1）=c（3a+2b+c）＜0
所以（a+b）（3a+2b-a-b）＞0，即整理可得：(

b

a

)2+3

b

a

+2＞0
解得：

b

a

＜-2或

b

a

＞-1．
因為x₁，x₂是方程g（x）=3ax²+2bx+c=0的兩根
所以x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

=-

1

3

-

b

3a

．
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

3

( b a )2+ 3 b a +3

因為

b

a

＜-2或

b

a

＞-1，
所以|x₁-x₂|=

2

3

[( b a )+ 3 2 ]2+ 3 4

＞

2

3

，
所以|x₁-x₂|的取值范圍為（

2

3

，+∞）．
故答案為：（

2

3

，+∞）．

點評：解決此類問題的方法是正確的利用二次函數與一二次方程之間的關系結合著根與系數的關系表達出所求，再利用二次函數定區間上求最值的方法求解即可，屬于中檔題．