Question

在一條筆直的工藝流水線上有n個工作臺，將工藝流水線用如圖所示的數軸表示，各工作臺的坐標分別為x₁，x₂，…，x_n，每個工作臺上有若干名工人．現要在流水線上建一個零件供應站，使得各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和最短．
（Ⅰ）若n=3，每個工作臺上只有一名工人，試確定供應站的位置；
（Ⅱ）若n=5，工作臺從左到右的人數依次為3，2，1，2，2，試確定供應站的位置，并求所有工人到供應站的距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】分析：設供應站坐標為x，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x）．
對于（1）由題意有d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|然后對x的范圍進行討論分析，知當x=x₂時，所有工人到供應站的距離之和最短．
對于（2）由題設知，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x）=3|x-x₁|+2|x-x₂|+|x-x₃|+2|x-x₄|+2|x-x₅|．對x的取值范圍進行分類討論，判斷最佳的位置．
解答：解：設供應站坐標為x，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x）．
（Ⅰ）d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|．（2分）
當x＜x₁時，d（x）=x₁+x₂+x₃-3x在區間（-∞，x₁）上是減函數；
當x＞x₃時，d（x）=3x-（x₁+x₂+x₃）在區間（x₃，+∞）上是增函數．（4分）
所以，x必須位于區間[x₁，x₃]內，此時d（x）=x₃-x₁+|x-x₂|（*），
當且僅當x=x₂時，（*）式取最小值，且d（x₂）=x₃-x₁，即供應站的位置為x=x₂．（7分）
（Ⅱ）由題設知，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x）
=3|x-x₁|+2|x-x₂|+|x-x₃|+2|x-x₄|+2|x-x₅|．（8分）
類似于（Ⅰ）的討論知，x₁≤x≤x₅，且有（11分）
所以，函數d（x）在區間（x₁，x₂）上是減函數，在區間（x₃，x₅）上是增函數，在區間[x₂，x₃]上是常數．故供應站位置位于區間[x₂，x₃]上任意一點時，均能使函數d（x）取得最小值，且最小值為x₃+2x₄+2x₅-3x₁-2x₂，x₂≤x≤x₃．（13分）
點評：本題主要考查將實際問題轉化為數學問題的能力，以及綜合運用函數知識解決問題的能力，在求最值的過程中，由于本題是絕對值函數，故需分類去絕對值號．