Question

如右圖，在正三棱錐S-ABC中，M，N分別為棱SC，BC的中點，AM⊥MN，若SA=

3

，則正三棱錐S-ABC的外接球的體積為

9π

2

．

Answer 1

分析：由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．

解答：解：∵M，N分別為棱SC，BC的中點，∴MN∥SB
∵三棱錐S-ABC為正棱錐，
∴SB⊥AC（對棱互相垂直）
∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，
∴SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°
以SA，SB，SC為從同一定點S出發的正方體三條棱，將此三棱錐補成以正方體，則它們有相同的外接球，
正方體的對角線就是球的直徑．
∴2R=

3

•SA=

3

•

3

 =3，
∴R=

3

2

，
∴V=

4

3

πR³=

4

3

π×

27

8

=

9π

2

故答案為：

9π

2

點評：本題考查了三棱錐的外接球的體積，考查空間想象能力．三棱錐擴展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關鍵．