Question

設實數x，y滿足不等式

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥0

，若ax+y的最大值為1，則直線ax+y+1=0的傾斜角的取值范圍是

[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）

．

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=y-ax表示直線在y軸上的截距，-a表示直線的斜率，欲求直線ax+y+1=0的傾斜角的取值范圍，只需求出a的取值范圍即可．

解答：解：約束條件

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥0

，對應的平面區域如下圖示：
根據題意知，目標函數z=ax+y（其中a為常數）在A（0，1）處取得最大值1，
則直線z=ax+y的斜率-a必須介于直線x+y-1=0和直線x-y+1=0的斜率之間，即要滿足-1≤a≤1，
從而直線ax+y+1=0的斜率-a的取值范圍是[-1，1]，
則直線ax+y+1=0的傾斜角的取值范圍是[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）．
故答案為：[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）．

點評：借助于平面區域特性，用幾何方法處理代數問題，體現了數形結合思想、化歸思想．線性規劃中的最優解，通常是利用平移直線法確定．