Question

拋物線y=g（x）經過點O（0，0）、A（m，0）與點P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，設函數f（x）=（x﹣n）g（x）在x=a和x=b處取到極值．
（1）用m，x表示f（x）=0．
（2）比較a，b，m，n的大小（要求按從小到大排列）．
（3）若，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線y=（x）均相切，求y=f（x）

Answer 1

解：（1）由拋物線經過點O（0，0）A（m，0），
設拋物線方程y=kx（x﹣m），k≠0，
又拋物線過點P（m+1，m+1），
則m+1=k（m+1）（m+1﹣m），得k=1，
所以y=g（x）=x（x﹣m）=x²﹣mx．
（2）f（x）=（x﹣n）g（x）=x（x﹣m）（x﹣n）=x³﹣（m+n）x²+mnx，
f′（x）=3x²﹣2（m+n）x+mn，
函數f（x）在x=a和x=b處取到極值，故f′（a）=0，f′（b）=0，
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²﹣2（m+n）m+mn=m²﹣mn=m（m﹣n）＞0
f′（n）=3n²﹣2（m+n）+mn=n²﹣mn=n（n﹣m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m．
（3）設切點Q（x₀，y₀），則切線的斜率k=f′（x₀）=3x₀²﹣2（m+n）x₀+mn
又y₀=x₀³﹣（m+n）x₀²+mnx₀，
所以切線的方程是 y=x₀³﹣（m+n）x₀²﹣mnx₀=[3x₀²﹣2（m+n）x₀+mn]（x﹣x₀）
又切線過原點，故﹣x₀³﹣（m+n）x₀²﹣mnx₀=﹣3x₀³﹣2（m+n）x₀²+mnx₀，
所以2x₀³﹣（m+n）x₀²=0，解得x₀=0，或x₀= ．
兩條切線的斜率為k₁=f′（0）=mn，k₂=f′（ ），
由m+n≤2 ，得（m+n）2≥8，
∴﹣ （m+n）2≥﹣2，
∴k₂=f′（ ）= ﹣2（m+n）· +mn
=﹣ （m+n）²+mn≥mn﹣2
所以k₁k₂=（mn）²﹣2mn=（mn﹣1）²﹣1≥﹣1，
又兩條切線垂直，故k₁k₂=﹣1，
所以上式等號成立，有m+n=2 ，且mn=1．
所以f（x）=x³﹣（m+n）x²+mnx=x³﹣2 x²+x．