Question

已知函數f（x）=lnx-ax+a（a∈R，x＞0）
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．
（i） 求a的取值范圍；
（ii） 設n為給定不小于4的正整數，當m＞n時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數f（x）=lnx-ax（a∈R）的導數，令導數大于0求出函數的增區間，令導數小于0，求出函數的減區間．
（Ⅱ）（i）由f（x）=lnx-ax+a，知f′（x）=-a，取f′（x）=-a=0，則ln（）-1＜0，由此能求出a的取值范圍．
（ii）由m＞n≥4，a＞，f（x）=lnx-ax+a（a∈R，x＞0），知m-k＞0，f（m）-f（k）=lnm-am+lnk-ak=ln-a（m+k），由此能夠證明．
解答：解：（Ⅰ）函數的定義域是（0，+∞）
∵f（x）=lnx-ax+a，∴f′（x）=-a，
當a≤0時，f′（x）＞0，函數在定義域上是增函數；
當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=，
當x＞時，f′（x）＜0，函數在（，+∞）上是減函數，
當x＜時，導數為正，函數在（0，）上是增函數
（Ⅱ）（i）∵f（x）=lnx-ax+a，∴f′（x）=-a，
取f′（x）=-a=0，則x=，∴ln（）-1＜0，即＜e，所以a＞．
（ii）∵m＞n≥4，a＞，f（x）=lnx-ax+a（a∈R，x＞0）
∴m-k＞0，f（m）-f（k）=lnm-am-lnk+ak=ln-a（m-k），
∴
∴
點評：本題考查用導數研究函數的單調性，解題的鍵是理解并掌握函數的導數的符號與函數的單調性的關系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導數符號得出單調性，一類是由單調性得出導數的符號，本題屬于第一種類型．本題的第二小問是根據函數在閉區間上的最值，本題中由于參數的存在，導致導數的符號不定，故需要對參數的取值范圍進行討論，以確定函數在這個區間上的最值．