Question

已知函數f（x）=ln（x+a）+x²，x=-1是f（x）的極值點，
（I）求a的值；
（II）并求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）先求函數的導數，再根據函數在x=0處取得極值，則此處的導數值為0，求得a=1，
（II）先求導數，令其為0，解出x，列出f′（x），f（x）的關系表格，即可得到答案．

解答：解：（I）f′(x)=

1

x+a

+2x
因為x=-1是f（x）的極值點，
所以f′(-1)=

1

-1+a

-2=0
所以a=

3

2

（II）由（I）得f′(x)=

2

2x+3

+2x(x＞-

3

2

)
令f^′（x）=0，得x=-1或x=-

1

2

x	(- 3 2 ，-1)	-1	(-1，- 1 2 )	- 1 2	(- 1 2 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

所以f（x）的單調增區間是：(-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)；單調增區間是：(-1，-

1

2

)．

點評：本題主要考查利用求導研究函數的單調性，解題的關鍵是弄清函數在某點取得極值的條件，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．