Question

（本小題滿分12分）

已知直線所經過的定點恰好是橢圓的一個焦點,且橢圓上的點到點的最大距離為3.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知圓,直線.試證明：當點在橢圓上運動時，直線與圓恒相交，并求直線被圓所截得弦長的取值范圍.

（Ⅲ）設直線與橢圓交于兩點，若直線交軸于點，且，當變化時，求 的值；   

Answer 1

解:（Ⅰ）由得，所以直線過定點（1，0），即.  

 設橢圓的方程為,

則,解得_，所以橢圓的方程為.  …………3分

（Ⅱ）因為點在橢圓上運動,所以，     

從而圓心到直線的距離

所以直線與圓恒相交.                             ……………………5分

又直線被圓截得的弦長

，       …………6分

由于,所以,則,

即直線被圓截得的弦長的取值范圍是.  …………………7分

（3）設

      

                                     …………………………9分

       又由

                同理 ………………………………11分

             ………………………12分