Question

已知在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2=a2+c2-

3

ac，c=

3

b．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圓半徑為2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據題中等式，結合余弦定理算出cosB=

3

2

，從而得到B=

π

6

．由c=

3

b結合正弦定理，算出sinC=

3

sinB=

3

2

，進而得到C=

π

3

或C=

2π

3

，最后由三角形內角和定理即可算出角A的大小．
（2）根據正弦定理，得b=2RsinB，c=2RsinC，從而S△ABC=

1

2

bcsinA=2R2sinAsinBsinC，再代入（1）中求出的數據，即可得到△ABC的面積．

解答：解：（1）∵在△ABC中，b2=a2+c2-

3

ac．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

6

…（3分）
∵c=

3

b，∴根據正弦定理，得sinC=

3

sinB=

3

sin

π

6

=

3

2

∵C∈（0，π），∴C=

π

3

或C=

2π

3

…（6分）
當C=

π

3

時，A=π-B-C=

π

2

；當C=

2π

3

時，A=π-B-C=

π

6

綜上所述，A=

π

2

或

π

6

…（8分）
（2）∵

b

sinB

=

c

sinC

=2R，∴b=2RsinB，c=2RsinC…（10分）
當A=

π

2

時，S△ABC=

1

2

bcsinA=2R2sinAsinBsinC=2

3

…（12分）
當A=

π

6

時，S△ABC=

1

2

bcsinA=2R2sinAsinBsinC=

3

綜上所述：當A=

π

2

時，S△ABC=2

3

，當A=

π

6

時，S△ABC=

3

…（14分）

點評：本題給出三角形邊之間的關系式，求角A的大小并求三角形的面積，著重考查了正弦定理的面積公式、三角形內角和定理與用正、余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．