Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分別為PC、PD、BC的中點．

(1)求證：PA⊥EF；

(2)求二面角D－FG－E的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　證法1：∵平面，平面，∴． 　　又為正方形，∴． 　　∵，∴平面．……………………3分 　　∵平面，∴． 　　∵，∴．…………………………………6分 　　證法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系， 　　則，，，，，．…………………………………………………4分 　　∵， 　　∴．………………………………………6分 　　(2) 　　解法1：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系， 　　則，，，， 　　，，．………………8分 　　設平面DFG的法向量為， 　　∵ 　　令，得是平面的一個法向量．…………10分 設平面EFG的法向量為， 　　∵ 　　令，得是平面的一個法向量．……………12分 　　∵． 　　設二面角的平面角為θ，則． 　　所以二面角的余弦值為．……………14分 　　解法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系， 　　則，，，，，，，，．………………………………8分 　　過作的垂線，垂足為， 　　∵三點共線，∴， 　　∵，∴， 　　即，解得． 　　∴．…………10分 　　再過作的垂線，垂足為， 　　∵三點共線，∴， 　　∵，∴， 　　即，解得． 　　∴．…………………………12分 　　∴． 　　∵與所成的角就是二面角的平面角， 　　所以二面角的余弦值為．………………14分