Question

函數f（x）=ax+

1

a

（1-x），其中a＞0，記f（x）在區間[0，1]上的最大值為g（a），則函數g（a）的最小值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．0
• C．1
• D．2

Answer 1

分析：把函數變形為f（x））=（a-

1

a

）x+

1

a

，分三種情況：a＞1；a=1；0＜a＜1進行討論，由一次函數單調性即可求得g（a），據g（a）特征可求其最大值．

解答：解：f（x）=（a-

1

a

）x+

1

a

，
（1）當a＞1時，a＞

1

a

，f（x）是增函數，
∴f（x）在[0，1]的最小值為f（0）=

1

a

，∴g（a）=

1

a

；
（2）當a=1時，f（x）=1，∴g（a）=1；
（3）當0＜a＜1時，a-

1

a

＜0，f（x）是減函數，
f（x）在[0，1]上的最小值為f（1）=a，∴g（a）=a，
所以g（a）=

a，0＜a＜1 1，a=1 1 a ，a＞1

，
因此g（a）最小值為1，
故選C．

點評：本題考查分段函數最值的求法，考查分類討論思想，屬中檔題．