Question

12．從某市統考的學生數學考試卷中隨機抽查100份數學試卷作為樣本，分別統計出這些試卷總分，由總分得到如下的頻率分布直方圖．
（1）求這100份數學試卷的樣本平均分$\overline x$和樣本方差s²
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
（2）由直方圖可以認為，這批學生的數學總分Z服從正態分布N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數$\overline x$，σ²近似為樣本方差s²．
①利用該正態分布，求P（81＜z＜119）；
②記X表示2400名學生的數學總分位于區間（81，119）的人數，利用①的結果，求EX（用樣本的分布區估計總體的分布）．
附：$\sqrt{366}$≈19，$\sqrt{326}$≈18，若Z=～N（μ，²），則P（μ-σ²），則P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）一組中的數據用該組區間的中點值作代表，求這100份數學試卷的樣本平均分$\overline x$和樣本方差s²；
（2）①利用該正態分布，Z～N（100，366），即可求P（81＜z＜119）；
②數學總分位于區間（81，119）的概率為0.6826，X～（2400，0.6826），即可求EX．

解答 解：（1）由題意，$\overline{x}$=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
樣本方差s²=（60-100）²×0.02+（70-100）²×0.08+（80-100）²×0.14+（90-100）²×0.15+（100-100）²×0.24+（110-100）²×0.15+（120-100）²×0.1+（130-100）²×0.08+（140-100）²×0.04=366；
（2）Z～N（100，366），P（81＜z＜119）=P（100-19＜z＜100+19）=0.6826；
②數學總分位于區間（81，119）的概率為0.6826，X～（2400，0.6826），
EX=2400×0.6826=1638.24．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，樣本方差的求法，正態分布，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．