Question

己知{a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，a₂=3，若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構成一個新的等差數(shù)列，求：
（1）原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項？
（2）新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第幾項？

Answer 1

分析：（1）由題意可求出兩數(shù)列的通項公式，可求得原數(shù)列的第12項即可知道是新數(shù)列的第幾項；（2）同樣，只要由通項公式求出新數(shù)列的第29項也可求得是原數(shù)列的第幾項．

解答：解：（1）{a_n}為等差數(shù)列，a₁=2，a₂=3，若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，
使它和原數(shù)列的數(shù)構成一個新的等差數(shù)列，不妨記為{b_n}
則等差數(shù)列{b_n}是以2為首項，3為第五項的數(shù)列，設{a_n}的公差為d，
設{b_n}公差為d′，則2+d=3，2+4d′=3，解得d=1，d′=

1

4

，
故原等差數(shù)列{a_n}的通項為：a_n=2+1×（n-1）=n+1
新等差數(shù)列{b_n}的通項為：bn=2+

1

4

(n-1)=

n+7

4

，
故原數(shù)列的第12項為a₁₂=13，令b_n=13，解得n=45，
故原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第45項．
（2）由（1）知新數(shù)列的第29項b29=

29+7

4

=9，
令a_n=9解得n=8，故新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第8項．

點評：本題為等差數(shù)列的考查，熟練運用等差數(shù)列的通項公式是解決問題的關鍵，屬中檔題．