Question

如圖，用一副直角三角板拼成一直二面角A-BD-C，若其中給定 AB=AD=2，∠BCD=90°，∠BDC=60°，
（Ⅰ）求三棱錐A-BCD的體積；
（Ⅱ）求點A到BC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，用一付直角三角板拼成一直二面角A-BD-C，若其中給定 AB=AD=2，∠BCD=90°，∠BDC=60°，我們利用面面垂直的性質，我們易求出三棱錐A-BCD的高AE的長，及底面△BCD的面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
（II）過E點做EF∥CD，利用線面垂直的性質及判定定理，我們易判斷AF即為點A到BC的距離，在RT△AEF中，求出AE及EF值后，利用勾股定理，我們易求出AF的值．
解答：解：（Ⅰ）∵直二面角A-BD-C是由一付直角三角板拼成
又∵AB=AD=2，則△ABD是以A為直角的等腰直角三角形，BD=2
又∵∠BCD=90°，∠BDC=60°，
∴CD=，BC=，=
取BD的中點E，連接AE，則AE⊥BD，AE=，如圖所示
則AE⊥平面BCD，
則V_A-BCD===
（Ⅱ）過E點做EF∥CD，則EF=，且EF⊥BC
又∵AE⊥BC，AE∩EF=E
則BC⊥平面AEF
∴AF⊥BC，則線段AF長即為A點到BC的距離
在直角三角形AEF中，AF====
點評：本題考查的知識點是空間點、線、面的距離計算，棱錐的體積，其判斷AE⊥平面BCD（即AE是平面BCD上的高）及判斷AF垂直BC（即AF長為點A到BC的距離）是解答本題的關鍵．