Question

今有直線x+y+m=0（m＞0）與圓x²+y²=2交于不同的兩點A、B，O是坐標原點，且|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，則實數m的取值范圍是

2

≤m＜2

．

Answer 1

分析：根據向量的減法法則和向量數量積的運算性質，算出|

OA

+

OB

|≥|

AB

|即

OA

•

OB

≥0，得∠AOB為直角或銳角．
由此可得直線x+y+m=0與圓x²+y²=2相交構成的△ABO中，AB到圓心的距離大于或等于圓半徑的

2

2

倍，由此結合點到直線的距離公式列式，即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：∵

AB

=

OB

-

OA

∴|

OA

+

OB

|≥|

AB

|平方得：|

OA

+

OB

|2≥|

OB

-

OA

|2
即

OB

2+2

OA

•

OB

+

OA

2≥

OB

2-2

OA

•

OB

+

OA

2，
化簡得

OA

•

OB

≥0，即

|OA|

•

|OB|

cos∠AOB≥0
因此，∠AOB為直角或銳角，
∵直線x+y+m=0（m＞0）與圓x²+y²=2交于不同的兩點A、B，
∴圓心到直線的距離大于或等于

2

2

r（r為圓的半徑）
即

|m|

2

≥

2

2

•

2

=1，所以m≥

2

又∵直線x+y+m=0（m＞0）與圓x²+y²=2相交，得

|m|

2

＜r=

2

∴m＜2，可得m的取值范圍為

2

≤m＜2
故答案為：

2

≤m＜2

點評：本題給出直線與圓相交滿足的向量不等式，求參數m的取值范圍．著重考查了向量的數量積運算性質、直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．