Question

已知數列{a_n}的首項a₁=3，通項a_n與前n項和S_n之間滿足2a_n=S_nS_n-1（n≥2）．
（1）求證{

1

Sn

}是等差數列，并求公差；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由題設知2（S_n-S_n-1）=S_nS_n-1，兩邊同時除以S_nS_n-1，得2（(

1

Sn-1

-

1

Sn

)=1，由此知{

1

Sn

}是等差數列，公差d=-

1

2

．
（2）由題設知

1

Sn

=

1

3

+(n-1)×(-

1

2

)=

1

2

n+

5

6

，故Sn=

6

3n+5

．由此能導出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵2a_n=S_nS_n-1（n≥2）∴2（S_n-S_n-1）=S_nS_n-1
兩邊同時除以S_nS_n-1，得2(

1

Sn-1

-

1

Sn

)=1
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=-

1

2

∴{

1

Sn

}是等差數列，公差d=-

1

2

（2）∵

1

S1

=

1

a1

=

1

3

∴

1

Sn

=

1

3

+(n-1)×(-

1

2

)=-

1

2

n+

5

6

=

5-3n

6

∴Sn=

6

5-3n

當n≥2時，an=

1

2

SnSn-1=

1

2

×

6

5-3n

×

6

8-3n

=

18

(5-3n)(8-3n)

∴an=

3 ，n=1 18 (8-3n)(5-3n) ，n≥2

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．