Question

如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），

（1）當BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；
（2）當三棱錐A-BCD的體積最大時，設點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小。

Answer 1

解：（1）設BD=x，則CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，
∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，
∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD= ×AD×S_△BCD= ×（3-x）× ×x（3-x）= （x³-6x²+9x）
設f（x）= （x³-6x²+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）= （x-1）（x-3），
∴f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，3）上為減函數
∴當x=1時，函數f（x）取最大值
∴當BD=1時，三棱錐A-BCD的體積最大。
（2）以D為原點，建立如圖直角坐標系D-xyz，
由（1）知，三棱錐A-BCD的體積最大時，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（，1，0），
且=（-1，1，1）設N（0，λ，0），
則=（-，λ-1，0）
∵EN⊥BM，
∴·=0
即（-1，1，1）（-，λ-1，0）=+λ-1=0，
∴λ=，
∴N（0，，0）
∴當DN=時，EN⊥BM
設平面BMN的一個法向量為=（x，y，z），
由及=（-1，，0）得，
取=（1，2，-1）
設EN與平面BMN所成角為θ，
則=（-，，0）
sinθ=|cos＜，＞|=||==
∴θ=60°
∴EN與平面BMN所成角的大小為60°
。