Question

設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，則不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(  )

A．(－3,0)∪(3，＋∞)

B．(－3,0)∪ (0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(0,3)

Answer 1

D

解析試題分析：設F（x）="f" （x）g（x），當x＜0時，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在當x＜0時為增函數．
∵F（-x）="f" （-x）g （-x）="-f" （x）•g （x）=-F（x）．
故F（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數．
∴F（x）在（0，∞）上亦為增函數．
已知f(－3)·g(－3)＝0，必有F（-3）=F（3）=0．
構造如圖的F（x）的圖象，

可知F（x）＜0的解集為x∈（-∞，-3）∪（0，3）．
考點：本試題主要考查了復合函數的求導運算和函數的單調性與其導函數正負之間的關系．
點評：導數是一個新內容，也是高考的熱點問題，要多注意復習．解決該試題的關鍵是先根據f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可確定[f（x）g（x）]'＞0，進而可得到f（x）g（x）在x＜0時遞增。