Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂公切線AD和BC相交于點D，A、B、C為切點，直線DO₁與⊙O₁與E、G兩點，直線DO₂交⊙O₂與F、H兩點．
（1）求證：△DEF～△DHG；
（2）若⊙O₁和⊙O₂的半徑之比為9：16，求的值．

Answer 1

解：（1）證明：∵AD是兩圓的公切線，
∴AD²=DE×DG，AD²=DF×DH，
∴DE×DG=DF×DH，
∴，
又∵∠EDF=∠HDG，
∴△DEF∽△DHG．（4分）
（2）連接O₁A，O₂A，
∵AD是兩圓的公切線，
∴O₁A⊥AD，O₂A⊥AD，
∴O₁O₂共線，
∵AD和BC是⊙O₁和⊙O₂公切線，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD²=O₁A×O₂A，（8分）
設⊙O₁和⊙O₂的半徑分別為9x和16x，則AD=12x，
∵AD²=DE×DG，AD²=DF×DH，
∴144x²=DE（DE+18x），144x²=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴．（10分）
分析：（1）欲求證：△DEF～△DHG，根據AD是兩圓的公切線得出線段的乘積式相等，再轉化成比例式相等，最后結合角相等即得；
（2）連接O₁A，O₂A，AD是兩圓的公切線結合角平分線得到：AD²=O₁A×O₂A，設⊙O₁和⊙O₂的半徑分別為9x和16x，利用AD²=DE×DG，AD²=DF×DH，分別用x表示出DE和DF，最后算出即可．
點評：本題主要考查了圓的切線的性質定理的證明、相似三角形的判定，考查計算能力和邏輯推理能力．