Question

高中2010級某數學學習小組共有男生4人，女生3人．
（1）7個人站成一排，甲、乙兩人中間恰好有2人的站法有多少種？
（2）排隊合影，男生甲不站兩邊，女生乙、丙必須相鄰的排法總數為多少？
（3）7人站成一排，甲與乙相鄰且丙與丁不相鄰，有多少種排法？
（4）現有6本不同的數學書，平均分發給三名女生，有多少種分法？
（5）今有10個乒乓球（完全相同）分發給這7名同學，每人至少一個，問有多少種不同的分發？
（6）4名男生互贈不同的紀念品（自己不拿自己的），有多少種不贈送方式？

Answer 1

分析：（1）從5個人中選兩個排在甲和乙之間，甲、乙位置可以互換，故這四個人的排列數有A₅²A₂²．將這四人看成一個整體，與剩余3人共4個元素排列，故有A₄⁴種排列方式，相乘得到結果．
（2）男生甲的站法數有C₅¹種，對每一種，女生乙、丙相鄰的站法均為4種，相乘的結果．
（3）若甲乙相鄰，則將甲、乙看成一個整體，相當于只剩下6個人的全排列，而甲、乙可互換．考慮其中丙、丁再相鄰的情況，相減得到結果．
（4）將6本書平均分為三堆，則必有一堆含有A，故只需再選一本與之搭檔，選擇以后必有一堆含有B或C或D或E或F，
只需再選一本與之塔檔，再將其分給三個女生，根據分步計數原理得到結果．
（5）本題要使用擋板法，在10個乒乓球所產生的9個“空檔”中選出6個“空檔”插入檔板，即產生符合要求的方法數．
（6）第一個人有C₃¹種贈法，而被贈的人除自己外仍有3種贈，這樣剩下的兩人僅有一種贈法符合要求，故有3C₃¹種．

解答：解：（1）甲、乙中間兩人的排列數為A₅²，
而甲、乙位置可以互換，故這四個人的排列數有A₅²A₂²．
將這四人看成一個整體，與剩余3人排站，故有A₄⁴種排列方式．
∴不同站法有A₅²A₂²A₄⁴=960種．（2分）
（2）男生甲的站法數有C₅¹種，對每一種，
女生乙、丙相鄰的站法（不計順序）均為4種，
所以不同站法數為C₅¹C₄¹A₂²A₄⁴=960．（2分）
（3）若甲、乙相鄰，則將甲、乙看成一個整體，
則總共的排法數為A₂²A₆⁶=1440（相當于只剩下6個人的全排列，而甲、乙可互換）．
考慮其中丙、丁再相鄰的情況，同上述方法可知有A₂²A₂²A₅⁵=480種，
∴符合要求的排法有1440-480=960．（2分）
（4）將6本書平均分為三堆，則必有一堆含有A（A、B、C、D、E、F為這六本書），
故只需再選一本與之搭檔，選擇以后必有一堆含有B或C或D或E或F，
只需再選一本與之塔檔，故分法數為C₅¹C₃¹=15種．
再將其分給三個女生，共有15×A₃³=90種．（2分）
（5）問題可轉化為將10個乒乓球排成一列，再分成7堆，每堆至少一個，求其方法數．
事實上，只需在上述10個乒乓球所產生的9個“空檔”中選出6個“空檔”插入檔板，
即產生符合要求的方法數．故有C₉⁶=84種．（2分）
（6）第一個人有C₃¹種贈法，而被贈的人除自己外仍有3種贈，
這樣剩下的兩人僅有一種贈法符合要求，故有3C₃¹=9種．（2分）

點評：本題考查排列組合的實際應用，本題是一個包含的情況比較多的問題，用到我們解決排列組合問題的各種方法，本題解題的關鍵是由實際問題轉化為數學問題，本題是一個中檔題目．