Question

上海某玩具廠生產(chǎn)x萬套世博會(huì)吉祥物海寶所需成本費(fèi)用為P元，且P=1000+5x+

1

10

x2，x∈(0，200]，而每萬套售出價(jià)格為Q元，其中Q=

a

x

+b，(a＞5000，b＞5），問：
（1）該玩具廠生產(chǎn)多少萬套吉祥物時(shí)，使得每萬套成本費(fèi)用最低？
（2）若產(chǎn)出的吉祥物能全部售出，問產(chǎn)量多大時(shí)，廠家所獲利潤最大？

Answer 1

分析：（1）

P

x

=

1000+5x+ 1 10 x2

x

=

1000

x

+

x

10

+5≥25（當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí)，取等號(hào)），由此能求出該玩具廠生產(chǎn)多少萬套吉祥物時(shí)，使得每萬套成本費(fèi)用最低．
（2）利潤f(x)=(

a

x

+b)x-(1000+5x+

1

10

x2)=-

1

10

x2+(b-5)x+a-1000，x∈（0，200]，由此能求出廠家所獲利潤最大時(shí)的產(chǎn)量．

解答：解：（1）由題設(shè)知：

P

x

=

1000+5x+ 1 10 x2

x

（3分）
=

1000

x

+

x

10

+5≥25（當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí)，取等號(hào)）
∴生產(chǎn)100萬套時(shí)，每萬套成本費(fèi)用最低．（6分）
（2）由題設(shè)，利潤f(x)=(

a

x

+b)x-(1000+5x+

1

10

x2)=-

1

10

x2+(b-5)x+a-1000，x∈（0，200]（9分）
當(dāng)5（b-5）≤200，即b≤45時(shí)，
fmax(x)=f[5(b-5)]=

5

2

(b-5)2+a-1000
∴當(dāng)產(chǎn)量為5b-25萬套時(shí)，利潤最大（12分）
當(dāng)b＞45時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，200]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)產(chǎn)量為200萬套時(shí)，f_max（x）=200b+a-6000．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析數(shù)量間的相互關(guān)系，合理地選擇數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解題．