Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c²＜a²+b²+2abcos2C，則∠C的取值范圍是

（0，

π

3

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)余弦定理表示出c²，代入已知的不等式中，移項合并后，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關(guān)于cosC的一元二次不等式，求出不等式的解集得到cosC的范圍，由C為三角形的內(nèi)角，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到角C的范圍．

解答：解：根據(jù)余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC，
已知不等式化為：a²+b²-2ab•cosC＜a²+b²+2abcos2C，
整理得：cos2C+cosC＞0，即2cos²C+cosC-1＞0，
因式分解得：（2cosC-1）（cosC+1）＞0，
解得：cosC＞

1

2

或cosC＜-1（舍去），
∴cosC＞

1

2

，由C為三角形的內(nèi)角，
則∠C的取值范圍是（0，

π

3

）．
故答案為：（0，

π

3

）

點評：此題考查了余弦定理，一元二次不等式的解法，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用余弦定理化簡已知的不等式是本題的突破點．