Question

如果對于任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f（x）的定義域內，則 f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱函數f（x）為“保三角形函數”．現有下列五個函數：
①f（x）=2x；
②f（x）=e^x；
③f（x）=x²；
④f（x）=

x

；
⑤f（x）=sinx．
則其中是“保三角形函數”的有

①④

．（寫出所有正確的序號）

Answer 1

分析：欲判斷函數f（x）是不是“保三角形函數”，只須任給三角形，設它的三邊長a、b、c滿足a+b＞c，判斷f（a）、f（b）、f（c）是否滿足任意兩數之和大于第三個數，即任意兩邊之和大于第三邊即可．因此假設a≤c且b≤c，在各個選項中根據定義和函數對應法則加以判斷，即可得到只有①④是“保三角形函數”，而其它的都可舉出反例推翻．

解答：解：任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，
對于①，f（x）=2x，由于f（a）+f（b）=2（a+b）＞2c=f（c），所以f（x）=2x是“保三角形函數”．
對于②，f（x）=e^x，設a=b=2，c=3，a、b、c能構成三角形的三邊
因為f（a）=f（b）=e²，f（c）=e³，而f（a）+f（b）=2e²＜e³=f（c）
所以f（a）、f（b）、f（c）不能構成三角形的三邊，故f（x）=e^x不是“保三角形函數”．
對于③，f（x）=x²，3，3，5可作為一個三角形的三邊長，但3²+3²＜5²，
不存在三角形以3²，3²，5²為三邊長，故f（x）=x²不是“保三角形函數”．
對于④，f（x）=

x

，由a+b＞c，可得a+2

ab

+b＞c
兩邊開方得

a

+

b

＞

c

，因此函數f（x）=

x

是“保三角形函數”．
對于⑤，對于f（x）=sinx，記a=2π，b=3π，c=5π，
則f（a）=f（b）=f（c）=0，不滿足f（a）+f（b）＞f（c）
所以f（x）=sinx，不是“保三角形函數”．
故答案為：①④

點評：本題給出新定義，要我們判定符合定義的函數個數．著重考查了函數的圖象與性質、三角形的性質等知識，屬于中檔題．解題時需注意要判斷f（x）為“保三角形函數”，要經過嚴密的論證說明f（x）滿足“保三角形函數”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數”，僅須要舉出一個反例即可．