Question

已知直線過橢圓的右焦點F，拋物線：的焦點為橢圓的上頂點，且直線交橢圓于、兩點，點、F、 在直線上的射影依次為點、、.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交y軸于點，且，當變化時，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（3）連接、，試探索當變化時，直線與是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ  （Ⅱ）當變化時， 的值為定值；    （Ⅲ）當變化時，與相交于定點  

【解析】（Ⅰ）由題設條件能夠求出c=1，b= 3，從而求出橢圓C的方程．

（Ⅱ）設直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立方程組，由根與系數的關系推導λ₁+λ₂的值．

（Ⅲ）由題設條件想辦法證明點N在既直線lAE上，又在直線lBD上，∴當m變化時，AE與BD相交于定點