Question

將函數y=

2-(x-1)2

-1（x∈[0，2]）圖象繞原點逆時針方向旋轉角θ（0≤θ≤α），得到曲線C．若對于每一個旋轉角θ，曲線C都是一個函數的圖象，則a的最大值是（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：確定函數在x=0處，函數圖象的切線斜率，可得傾斜角，從而可得結論．

解答：解：由題意，函數圖象如圖所示，函數在[0，1]上為增函數，在[1，2]上為減函數．
設函數在x=0 處，切線斜率為k，則k=f'（0）
∵f'（x）=

1

2

•

-2(x-1)

2-(x-1)2

，
∴∴k=f'（0）=1，可得切線的傾斜角為45°，
因此，要使旋轉后的圖象仍為一個函數的圖象，旋轉θ后的切線傾斜角最多為 90°，也就是說，最大旋轉角為90°-45°=45°，即θ的最大值為45°
故選B．

點評：本題考查了導數的幾何意義和函數的圖象與圖象變化等知識點，將函數圖象繞原點逆時針旋轉θ后，所得曲線仍是一個函數的圖象，求角θ的最大值，屬于中檔題．