Question

設函數f(x)=x²-1+cosx(a＞0)，
(1)當a=1時，證明：函數y=f(x)在(0，+∞)上是增函數；
(2)若y=f(x)在(0，+∞)上是單調增函數，求正數a的范圍；
(3)在(1)的條件下，設數列{a_n}滿足：0＜a₁＜1，且a_n+1=f(a_n)，求證：0＜a_n+1＜a_n＜1。

Answer 1

解：(1)當a=1時，，
恒成立，
∴y=g(x)在(0，+∞)上是增函數，g(x)＞g(0)=0，
即函數y=f(x)在(0，+∞)上是增函數；
(2)由，得h(x)=f′(x)=ax-sinx，
若y=f(x)在(0，+∞)上是單調增函數，則f′(x)=ax-sinx≥0恒成立，
當a≥1，恒有ax≥x≥sinx，此時f′(x)=ax-sinx≥0，
∴y=f(x)在(0，+∞)上是單調增函數；
當0＜a＜1時，h′(x)=a-cosx=0，得cosx=a，在上存在x₀，使得cosx₀=a；
當x∈(0，x₀)時，h′(x)=a-cosx＜0，h(x)在(0，x₀)上是減函數，
h(x)=f′(x)＜f′(0)=0，
這與，f′(x)=ax-sinx≥0恒成立矛盾，
∴a≥1；
(3)由(1)當0＜x＜1，0=f(0)＜f(x)＜f(1)=，
當0＜a₁＜1，a=f(a₁)∈(0，1)，
假設0＜a_k＜1，
則a_k+1=，
又，
∵，
∴，即，
∴。