Question

在如圖所示的幾何體中，△ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F(xiàn)為BE的中點．
（I）求證：DF∥平面ABC；
（II）求證：平面DBE⊥平面ABE；
（III）求直線BD和平面ACDE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中點G，證明FG平行且等于CD，可得四邊形FMCD為平行四邊形，進而得到DF∥CG，從而證明DF∥平面ABC．
（II）取AB中點G，由（1）可知四邊形CDFG為平行四邊形，可得CG∥DF．根據(jù)題意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，進而得到DF⊥平面ABE，即可證明面面垂直．
（III）取AC中點M，連接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM為所求的線面角，再結合解三角形的有關知識求出線面角即可得到答案．

解答：（I）證明：取AB中點G，連線FG、CGF為BE中點，
∴GF∥AE，GF=

1

2

AE，又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，且CD=

1

2

AE，
∴GF∥CD，GF=CD，
∴四邊形CDFG為平行四邊形
∴DF∥CG，又DF?平面ABC，CG?平面ABC
∴DF∥平面ABC…4分
（II）證明：取AB中點G，由（1）可知四邊形CDFG為平行四邊形，
∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交線為AB．
又△ABC為正三角形，G為AB中點
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE又CG∥DF，
∴DF⊥平面ABE，
又DF?平面DBE
∴平面DBE⊥平面ABE…8分
（III）解：取AC中點M，連接BM、DM
∵△ABC為正三角形，M為AC中點，
∴BM⊥AC．
又AE⊥平面ABC，AE?平面ACDE
∴平面ACDE⊥平面ABC，
∴BM⊥平面ACDE．
∴∠BDM為所求的線面角．
又因為

△ABC

為正三角形且AB=2，
所以BM=

3

，BC?平面ABC，
所以CD⊥BC，
所以BD=

5

，
所以cos∠BDM=

10

5

故直線BD和平面ACDE所成角的余弦值

10

5

…14分

點評：本題考查證明線面平行以及面面垂直的判定定理，并且也考查求二面角的平面角的有關知識，找出二面角的平面角是解題的難點和關鍵．