Question

如圖所示，橢圓C：=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B．已知、、成等比數列，-=2，與x軸不垂直的直線l與C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，且k₁•k₂=．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標；
（Ⅲ）當弦MN的中點P落在四邊形F₁AF₂B內（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意可知，通過、、成等比數列推斷出a²=2bc，進而根據a，b和c的關系求得a和b的關系，利用求得b，則a可求，橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設出直線l的方程，和M，N的坐標，把直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用k₁•k₂=求得b，進而可求得直線l與y軸相交的點．
（III）由（Ⅱ）中的一元二次方程可求得判別式大于0求得k的范圍，設弦AB的中點P坐標則可分別表示出x和y，p點在x軸上方，只需位于三角形MF₁F₂內就可以，進而聯立不等式組，求得k的范圍．
解答：解：（Ⅰ）易知、（其中），
則由題意知有a²=2bc．又∵a²=b²+c²，聯立得b=c．∴a=．
∵，∴2accos45°=2
∴b²=1a²=2．
故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標分別為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
由⇒（1+2k²）x²+4kbx+2b-2=0．
∴．
∵．
∴=
將韋達定理代入，并整理得=3，解得b=2．
∴直線l與y軸相交于定點（0，2）．

（III）由（Ⅱ）中（1+2k²）x²+8kx+6=0，其判別式△＞0，得．①
設弦AB的中點P坐標為（x，y），則，y=k+2=，
∴p點在x軸上方，只需位于三角形MF₁F₂內就可以，即滿足
將坐標代入，整理得
解得②
由①②得所求范圍為或．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生轉化與化歸思想的運用和基礎知識的熟練掌握．