Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x²-2x
（1）求函數f（x）的解析式，并畫出函數f（x）的圖象．
（2）根據圖象寫出的單調區間和值域．

Answer 1

分析：（1）當x＜0時，-x＞0，由已知中當x≥0時，f（x）=x²-2x，及函數f（x）是定義在R上的偶函數，可求出當x＜0時函數的解析式，進而得到答案，再由二次函數的圖象畫法可得到函數的草圖；
（2）根據圖象下降對應函數的單調遞減區間，圖象上升對應函數的單調遞增區間，分析出函數值的取值范圍后可得到答案

解答：解：（1）由x≥0時，f（x）=x²-2x，
當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=x²+2x
又函數f（x）為偶函數，
∴f（x）=x²+2x-------------3’
故函數的解析式為f(x)=

x2-2x(x≥0) x2+2x(x＜0)

-------------4’
函數圖象如下圖所示：--------------7’

（2）由函數的圖象可知，
函數f（x）的單調遞增區間為[-1，0]、[1，+∞）
單調遞減區間為（-∞，-1]、[0，1]，
函數f（x）的值域為[-1，+∞）------12’

點評：本題考查的知識點是函數圖象，函數的單調區間，函數的值域，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．