Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PA上的一點，F是BC的中點．
（Ⅰ）求證：EC⊥BD；
（Ⅱ）若PE=EA，求證：EF∥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）連接AC，轉化為證明直線BD⊥平面PAC；
（2）取PD中點M，連接EM，CM，根據線面平行的判定定理，只需證明EF∥CM．

解答：證明：（1）連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵EC?平面PAC，
∴EC⊥BD．
（2）取PD中點M，連接EM，CM，則ME∥AD，ME=

1

2

AD，
∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，
∵F為BC的中點，∴CF∥AD，CF=

1

2

AD，
∴ME∥CF，ME=CF，∴四邊形EFCM是平行四邊形，
∴EF∥CM，又∵EF?平面PCD，CM?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．

點評：本題考查線面平行的判定定理及線面垂直的性質，理解相關定理的內容是解決該類題目的基礎．