Question

如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得到幾何體B-ACD．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求AB與平面BCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中△ABC中，BD為AC邊上的高，對折后，我們易得BD⊥DA，BD⊥DC，結合線面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACD，再由線面垂直的性質，易得AC⊥BD；
（2）由已知中BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，結合（1）中BD⊥平面ACD，我們易得到平面BCD⊥平面ACD，AC⊥DC，則∠ABC即為AB與平面BCD所成角，解直角三角形ABC即可求出AB與平面BCD所成角的余弦值．

解答：解：（1）∵△ABC中，BD為AC邊上的高
∴幾何體B-ACD中，BD⊥DA，BD⊥DC，DA∩DC=D
∴BD⊥平面ACD
又∵AC?平面ACD
∴AC⊥BD；
（2）由（1）中BD⊥平面ACD，BD?平面BCD
∴平面BCD⊥平面ACD

∵BD=1，BC=AD=2，使得∠ADC=30°
∴AB=

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，AC=1，AC⊥DC，BC=2
∴∠ABC即為AB與平面BCD所成角
則cos∠ABC=

2 5

5

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質，其中正確理解在圖形的翻折過程中，哪些直線的位置關系是不變的，進而得到相關直線垂直的有用信息是解答本題的關鍵．