Question

設函數y=f（x）是定義域為R的奇函數，且滿足f（x-2）=-f（x）對一切x∈R恒成立，當x∈[0，1]時，f（x）=x³，給出下列四個命題．
①f（x）是以4為周期的周期函數；
②f（x）在[1，3]上解析式為f（x）=（2-x）³；
③f（x）圖象的對稱軸有x=±1；
④函數f（x）在R上無最大值．
其中正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：本題為判斷命題真假問題，命題①考查了函數函數的周期性，把已知等式連續運用二次可解決；命題③先把f（x-2）=-f（x）寫成f（x-2）=f（-x），再用x+1替換x可解決；命題②先求出函數f（x）在[-1，1]上的解析式，然后求曲線f（x）關于直線x=1的對稱曲線方程．由①②③得出的函數f（x）的性質可知，f（x）在定義域R上的最小值為-1，最大值為1．

解答：解：由f（x-4）=f[（x-2）-2]=-f（x-2）=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）是以4為周期的周期函數，故①正確．
因為函數y=f（x）是定義域為R的奇函數，所以f（x-2）=-f（x）=f（-x），取x=x+1，得f（x-1）=f（-x-1），所以x=-1是函數圖象的一條對稱軸，根據對稱性知x=1也是函數圖象的對稱軸，故③正確．
因函數為奇函數，且當x∈[0，1]時，f（x）=x³，所以當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，又函數圖象關于直線x=1對稱，設對稱圖象上的點為（x，y），再設（x，y）關于x=1的對稱點為（x^′，y^′）
則x^′=2-x，y^′=y，把x^′=2-x，y^′=y，代入f（x）=x³得，f（x）=（2-x）³，故②正確．
由上面分析知函數f（x）在R上的最大值為1，故④不正確．
故答案為①②③

點評：函數的周期性和對稱性結合在一起命題，是較為棘手的問題，靈活掌握抽象函數式的變形及對x的靈活替換是解答此類題的關鍵．